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已知函數f（x）=x³-3x²-9x+1
（1）求函數在區間[-4，4]上的單調性．
（2）求函數在區間[-4，4]上的極大值和極小值與最大值和最小值．

（1）∵f（x）=x³-3x²-9x+1，∴f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，結合-4≤x≤4，得-4≤x＜-1或3＜x≤4．
令f′（x）＜0，結合-4≤x≤4，得-1＜x＜3．
∴函數f（x）在[-4，-1）和（3，4]上為增函數，在（-1，3）上為減函數．
（2）由（1）得函數f（x）在x=-1時取得極大值，即f（-1）=6，在x=3時取得極小值，f（3）=-26
而f（-4）=-75，f（4）=-19
所以最大值為6，最小值為-75

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當a≠0時，求函數f（x）的單調區間與極值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

記an為(1+x)n+1的展開式中含x^n-1項的系數，則

lim

n→∞

(

+…+

)=______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f(x)=

x3+ax+b（a，b∈R）在x=2處取得極小值-

．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）求函數f（x）在[-4，3]上的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=

1+lnx

．
（1）設a＞0，若函數f（x）在區間（a，a+

）上存在極值，求實數a的取值范圍；
（2）如果當x≥1時，不等式f（x）≥

k2-k

x+1

恒成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=x³+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是的f（x）的導函數．
（Ⅰ）對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）設a=-m²，當實數m在什么范圍內變化時，函數y=f（x）的圖象與直線y=3只有一個公共點．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數f（x）在定義域內的極值點的個數；
（Ⅱ）若函數f（x）在x=1處取得極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）當0＜x＜y＜e²且x≠e時，試比較

與

1-lny

1-lnx

的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=lnx-x
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若不等式af（x）≥x-

x²在x∈（0，+∞）內恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）n∈N⁺，求證：

ln2

ln3

+…+

ln(n+1)

＞

n+1

．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，試求a，b的值，
（1）并求出f（x）的單調區間
（2）在區間[-2，2]上的最大值與最小值
（3）若關于x的方程f（x）=α有3個不同實根，求實數a的取值范圍．

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