Question

【題目】已知四棱錐中，，，，平面平面．

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）根據勾股定理得到，證明平面得到答案.

（2）以為坐標原點，以過點且平行于的直線為軸，過點且平行于的直線為軸，直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，平面的法向量為，平面的法向量為，計算夾角得到答案.

（1）因為，所以，

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面，而平面，故．

（2）取的中點，因為，故，

因為平面平面，平面平面，故平面．

以為坐標原點，以過點且平行于的直線為軸，過點且平行于的直線為軸，直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系．

不妨設，則，，，．

設平面的法向量為，

則，即，令，可得，

設平面的法向量為，

則，即，令，可得，

，觀察圖形知二面角為鈍二面角，

則二面角的余弦值．