Question

（12分）已知函數f（x）＝lnx－（a≠0）

    （1）若a＝3，b＝－2，求f（x）在［，e］的最大值；

    （2）若b＝2，f（x）存在單調遞減區間，求a的范圍．

 

Answer 1

【答案】

 (1)當且僅當x=1，f(x)_max=f(1)=a-b=-+2= ；

(2) a的范圍(-1,0)(0,+)

 

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。求解函數的最值和函數單調性的逆向運用。

（1）由于=，然后分析當a＝3，b＝－2,時的導數，分別為正和負的取值范圍，得到單調性，然后求解極值，和最值。

 

（2）因為f(x)存在遞減區間，f′(x)<0有解那么即等價于ax²+2x-1>0有x>0的解，利用對參數a討論得到范圍。

解：(1) =-ax-b=-3x+2==-

 當時  f′(x)0；   1<xe     f′(x)<0

當且僅當x=1，f(x)_max=f(1)=a-b=-+2=……5分

(2) = -ax-2=

f(x)存在遞減區間，f′(x)<0有解

ax²+2x-1>0有x>0的解…………7分

a>0,顯然滿足…………9分

a<0時，則△=4+4a>0且ax²+2x-1=0至少有一個正根，此時-1<a<0……11分

a的范圍(-1,0)(0,+) …………12分