Question

設y＝f(x)是二次函數，方程f(x)＝0有兩個相等的實
根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表達式；
(2)求y＝f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積．

Answer 1

（1）f(x)＝x²＋2x＋1（2）

(1)設f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b.
又f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2.所以f(x)＝x²＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有兩個相等實根，
即x²＋2x＋c＝0有兩個相等實根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.

故f(x)＝x²＋2x＋1.
(2)依題意，所求面積為S＝(x²＋2x＋1)dx＝.