Question

（本題滿分12分）設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交A,B且？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由。

Answer 1

（1）
（2）存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且．

試題分析：（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點,
所以解得所以橢圓E的方程為
（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,
則△=,即
，
 
要使,需使,即,所以,所以又,
所以,所以,即或,
因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,
所以圓的半徑為,,,
所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,
而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,
綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且．
點評：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往要利用韋達定理。存在性問題，往往從假設存在出發，運用題中條件探尋得到存在的是否條件具備。（2）小題解答中，集合韋達定理，應用平面向量知識證明了圓的存在性。