Question

如圖，平行四邊形ABCD中，

AB

=

a

，

AD

=

b

，

CE

=

1

3

CB

，

CF

=

2

3

CD

．
（1）用

a

，

b

表示

EF

；
（2）若|

a

|=1，|

b

|=4，∠DAB=60°，分別求|

EF

|和

AC

•

FE

的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的三角形法則和向量相等及其運算即可得出；
（2）利用數量積運算法則和性質即可得出．

解答：解：（1）如圖所示，

EF

=

CF

-

CE

=

2

3

CD

-

1

3

CB

=-

2

3

AB

+

1

3

AD

=-

2

3

a

+

1

3

b

．
（2）∵|

a

|=1，|

b

|=4，∠DAB=60°，
∴

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cos60°=2．
∴|

EF

|=

(- 2 3 a + 1 3 b )2

=

4 9 a 2- 4 9 a • b + 1 9 b 2

=

2 3

3

．
由（1）得，

AC

•

FE

=(

a

+

b

)(

2

3

a

-

1

3

b

)=

2

3

a

2+

1

3

a

•

b

-

1

3

b

2=

2

3

+

2

3

-

16

3

=-4．

點評：本題考查了向量的三角形法則和向量相等及其運算、數量積運算法則和性質，屬于中檔題．