Question

（2012•棗莊一模）如圖，平行四邊形ABCD中，點E是邊BC（靠近點B）的三等分點，F是AB（靠近點A）的三等分點，P是AE與DF的交點，則

AP

用

AB

，

AD

表示為

AP

=

3

10

AB

+

1

10

AD

．

Answer 1

分析：設

DP

=λ

DF

，可化簡得

AP

=

1

1+λ

AD

+

λ

3(1+λ)

AB

．根據

BE

=

1

3

AD

，結合加法法則得

AE

=

1

3

AD

+

AB

，再由兩個向量共線的充要條件，列方程組并解之，得到實數λ的值，從而得到用

AB

、

AD

表示

AP

的式子．

解答：解：設

DP

=λ

DF

，（λ＞0）
由向量減法法則，得（

AP

-

AD

）=λ（

AF

-

AP

）
∴

AP

=

1

1+λ

AD

+

λ

1+λ

AF

=

1

1+λ

AD

+

λ

3(1+λ)

AB

…（*）
又∵

BE

=

1

3

BC

=

1

3

AD

∴

AE

=

AB

+

BE

=

1

3

AD

+

AB

∵向量

AP

、

AE

是共線向量
∴存在非零實數μ，使

AP

=μ

AE

，得

1 1+λ = 1 3 μ λ 3(1+λ) =μ

，解之得λ=9
將λ=9代入（*）式，得

AP

=

3

10

AB

+

1

10

AD

故答案為：

AP

=

3

10

AB

+

1

10

AD

點評：本題給出平行四邊形邊的三等分點，求一個向量用另外兩個向量作為基底的組合．著重考查了向量加法、減法法則和兩個向量共線的充要條件等知識，屬于中檔題．