Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是上任意一點。

（1）求證：；

（2）當面積的最小值是9時，在線段上是否存在點，使與平面所成角的正切值為2？若存在？求出的值，若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由三垂線定理AC垂直射影BD,則AC垂直斜線DE。（2）在面積最小時，最小，則．可得，可證平面。作交于點，則平面,所以就是與平面所成角.

（1）證明：連接，設與相交于點。

因為四邊形是菱形，所以。

又因為平面，平面

為上任意一點，平面，所以

（2）連．由（I），知平面，平面，所以．

在面積最小時，最小，則．

，解得

由且得平面則，

又由 得，而，故平面

作交于點，則平面,所以就是與平面所成角.

在直角三角形中，

所以，設，則。

由得。

由得，即