Question

如果實數x，y，t滿足|x-t|≤|y-t|，則稱x比y接近t．
（Ⅰ）設a為實數，若a|a|比a更接近1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）f（x）=ln

x-1

x+1

，證明：

n

k=2

f(k)比

2-n-n2

2n(n+1)

更接近0（k∈Z）．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，||a|a|-1|≤|a-1|，由于去絕對值需要考慮a的范圍，分類討論：（1）0＜a＜1（2）a≥1（3）a≤0三種情況求解a的范圍
（Ⅱ）要證明

n

k=2

f(k)比

2-n-n2

2n(n+1)

更接近0（k∈Z），只要證明|

n

k=2

f(k)-0|-|

2-n-n2

2n(n+1)

-0|=-ln

2

n(n+1)

-

n2+n-2

2n(n+1)

≤0即可

解答：解：（I）由題意可得，||a|a|-1|≤|a-1|
（1）當0＜a＜1時，|a²-1|≤|a-1|
1-a²≤1-a，得a≥1或a≤0（舍去）
（2）當a≥1時，a²-1≤a-1，得a=1；
（3）當a≤0時，a²+1≤1-a，-1≤a≤0．
綜上，a的取值范圍是{a|-1≤a≤0或a=1}
（Ⅱ）∵

n

k=2

f(k)=ln

1

3

+ln

2

4

+ln

3

5

+…+ln

n-1

n+1

=ln

2

n(n+1)

，
∴|

n

k=2

f(k)-0|-|

2-n-n2

2n(n+1)

-0|=-ln

2

n(n+1)

-

n2+n-2

2n(n+1)

．
令n（n+1）=t，∵n≥2∴t∈[6，+∞），且t∈Z，則
F（t）=-ln

2

t

-

t-2

2t

=-ln2+lnt-

t-2

2t

．F′(x)=

1

x

-

2x - 2 2 • 1 x (x-2)

2x

=

4 x - 2 x-2 2

4x x

=

- 2 ( x - 2 )2

4x x

＜0
∴F（x）在[2，+∞）單調遞減∴F（t）≤f（6）＜F（2）=-ln1-0=0．
∴-ln

2

t

-

t-2

2t

≤0，即-ln

2

n(n+1)

-

n2+n-2

2n(n+1)

≤0．
∴

n

k=2

f(k)比

2-n-n2

2n(n+1)

更接近0．

點評：本題以新定義為載體主要考查了絕對值不等式的解法，利用導數判斷函數的單調性求解函數的最值，屬于綜合性試題