Question

已知動圓P（圓心為點P）過定點A（1，0），且與直線x=-1相切，記動點P的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）設過點P的直線l與曲線C相切，且與直線x=-1相交于點Q．試研究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵動圓P過定點A（1，0），且與直線x=-1相切，
∴點P到A（1，0）的距離等于點P到直線x=-1的距離．
因此，點P的軌跡是以A（1，0）為焦點、x=-1為準線的拋物線
設該拋物線方程為y²=2px，可得

p

2

=1，解得p=2
∴拋物線方程為y²=4x，即為所求軌跡C的方程；
（2）設直線l方程為y=kx+m，（斜率不存在的直線不符合題意）
由

y2=4x y=kx+m

消去y得：k²x²+（2km-4）x+m²=0
由題意知k≠0，且△=（2km-4）²-4k²m²=0，化簡得km=1
設直線l與曲線C相切的切點P（x₀，y₀），則有
x₀=

2-km

k2

=

1

k2

，y₀=kx₀+m=

2

k

，所以P（

1

k2

，

2

k

）
由

x=-1 y=kx+m

解得Q（-1，m-k）
假設坐標平面內符合條件的點M存在，由圖形的對稱性知點M在x軸上
若取k=m=1，此時P（1，2），Q（-1，0），可得以PQ為直徑的圓為x²+（y-1）²=2，
交x軸于M₁（1，0），M₂（-1，0）
若取k=2，m=

1

2

，此時P（

1

4

，1），Q（-1，-

3

2

），可得以PQ為直徑的圓為（x+

3

8

）²+（y+

1

4

）²=

125

64

，
交x軸于M₃（1，0），M₄（-

7

4

，0）
所以若符合條件的M點存在，則點M的坐標必定為（1，0），即為A點．
以下證明，M（1，0）就是滿足條件的點
當M的坐標為（1，0）時，

MP

=（

1

k2

-1，

2

k

），

MQ

=（-2，m-k）
∴

MP

•

MQ

=-2（

1

k2

-1）+

2

k

（m-k）=

2mk-2

k2

=0
因此，

MP

⊥

MQ

恒成立
綜上所述，在坐標平面內存在定點M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點M．