Question

已知動圓P（圓心為點(diǎn)P）過定點(diǎn)A（1，0），且與直線x=-1相切，記動點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P的直線l與曲線C相切，且與直線x=-1相交于點(diǎn)Q．試研究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，點(diǎn)P到A（1，0）的距離等于點(diǎn)P到直線x=-1的距離．由此結(jié)合拋物線的定義，即可求出軌跡C的方程是
y²=4x；
（2）設(shè)直線l方程為y=kx+m，與拋物線y²=4x消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式可得km=1，由此代入所得方程解出P、Q的坐標(biāo)．然后根據(jù)圖形的對稱性加以討論，得到若符合條件的M點(diǎn)存在，則點(diǎn)M的坐標(biāo)必定為（1，0），即為A點(diǎn)．最后根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)證，可得M的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，

MP

⊥

MQ

恒成立，即可得到在坐標(biāo)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M．

解答：解：（1）∵動圓P過定點(diǎn)A（1，0），且與直線x=-1相切，
∴點(diǎn)P到A（1，0）的距離等于點(diǎn)P到直線x=-1的距離．
因此，點(diǎn)P的軌跡是以A（1，0）為焦點(diǎn)、x=-1為準(zhǔn)線的拋物線
設(shè)該拋物線方程為y²=2px，可得

p

2

=1，解得p=2
∴拋物線方程為y²=4x，即為所求軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線l方程為y=kx+m，（斜率不存在的直線不符合題意）
由

y2=4x y=kx+m

消去y得：k²x²+（2km-4）x+m²=0
由題意知k≠0，且△=（2km-4）²-4k²m²=0，化簡得km=1
設(shè)直線l與曲線C相切的切點(diǎn)P（x₀，y₀），則有
x₀=

2-km

k2

=

1

k2

，y₀=kx₀+m=

2

k

，所以P（

1

k2

，

2

k

）
由

x=-1 y=kx+m

解得Q（-1，m-k）
假設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)符合條件的點(diǎn)M存在，由圖形的對稱性知點(diǎn)M在x軸上
若取k=m=1，此時(shí)P（1，2），Q（-1，0），可得以PQ為直徑的圓為x²+（y-1）²=2，
交x軸于M₁（1，0），M₂（-1，0）
若取k=2，m=

1

2

，此時(shí)P（

1

4

，1），Q（-1，-

3

2

），可得以PQ為直徑的圓為（x+

3

8

）²+（y+

1

4

）²=

125

64

，
交x軸于M₃（1，0），M₄（-

7

4

，0）
所以若符合條件的M點(diǎn)存在，則點(diǎn)M的坐標(biāo)必定為（1，0），即為A點(diǎn)．
以下證明，M（1，0）就是滿足條件的點(diǎn)
當(dāng)M的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，

MP

=（

1

k2

-1，

2

k

），

MQ

=（-2，m-k）
∴

MP

•

MQ

=-2（

1

k2

-1）+

2

k

（m-k）=

2mk-2

k2

=0
因此，

MP

⊥

MQ

恒成立
綜上所述，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M．

點(diǎn)評：本題給出動圓P過定點(diǎn)A（1，0）且與定直線相切，求動點(diǎn)P的軌跡方程并討論以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M的問題．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)、軌跡方程的求法和直線與圓錐曲線的關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．