Question

【題目】已知直角的三邊長,滿足.

（Ⅰ）在之間插入個數,使這個數構成以為首項的等差數列,且它們的和為,求斜邊的最小值;

（Ⅱ）已知均為正整數,且成等差數列,將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列,且,求滿足不等式的所有的值;

（Ⅲ）已知成等比數列,若數列滿足,證明:數列中的任意連續三項為邊長均可以構成直角三角形,且是正整數.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

解:（Ⅰ）是等差數列, ,即.

,斜邊的最小值為 (當且僅當等號成立,

此時數列中, .

（Ⅱ）設的公差為,則,.

設三角形的三邊長為面積,

,

由得.

當時, ,

經檢驗當時, ,當時, ,

綜上所述,滿足不等式的所有的值為.

（Ⅲ）證明:因為成等比數列, ,

因為為直角三角形的三邊長,知,

又,得,

于是,

,

則有,

故數列中的任意連續三項為邊長均可以構成直角三角形.

因為

,

由,同理可得,

故對于任意的都有是正整數.

【解析】試題分析：（Ⅰ） 是等差數列, ,即.．

利用勾股定理與基本不等式的性質即可得出．
（Ⅱ）設的公差為,則,.

設三角形的三邊長為面積,

,利用等差數列的求和公式可得．由得，經過分類討論即可得出．

（Ⅲ）由成等比數列, ,因為為直角三角形的三邊長,

知,

又,，可得，再利用勾股定理進行驗證即可得出．

試題解析：

（Ⅰ）是等差數列, ,即.

,斜邊的最小值為 (當且僅當等號成立,

此時數列中, .

（Ⅱ）設的公差為,則,.

設三角形的三邊長為面積,

,

由得.

當時, ,

經檢驗當時, ,當時, ,

綜上所述,滿足不等式的所有的值為.

（Ⅲ）證明:因為成等比數列, ,

因為為直角三角形的三邊長,知,

又,得,

于是,

,

則有,

故數列中的任意連續三項為邊長均可以構成直角三角形.

因為

,

由,同理可得,

故對于任意的都有是正整數.