Question

如圖，A，B是單位圓上的兩個質點，B點坐標為（1，0），∠BOA=60°，質點A以1弧度/秒的角速度按逆時針方向在單位圓上運動；質點B以1弧度/秒的角速度按順時針方向在單位圓上運動，過點A作AA₁⊥y軸于A₁，過點B作BB₁⊥y軸于B₁．
（1）求經過1秒后，∠BOA的弧度數；
（2）求質點A，B在單位圓上第一次相遇所用的時間；
（3）記A₁B₁的距離為y，請寫出y與時間t的函數關系式，并求出y的最大值．

Answer 1

分析：（1）只要先求A，B運動所形成的角即可求解∠BOA
（2）根據兩個動點的角速度和第一次相遇時，兩者走過的弧長和恰好是圓周長求出第一次相遇的時間，再由角速度和時間求出其中一點到達的位置，再根據三角函數的定義此點的坐標，利用弧長公式可求
（3）由題意可得，y=|sin（t+

π

3

）-sin（-t）|=|

3

2

sint+

3

2

cost|，利用輔助角公式及正弦函數的性質可求

解答：解（1）經過1秒后A運動的角度為1，B運動的角度為-1
∴∠BOA=

π

3

+2（2分）
（2）設A、B第一次相遇時所用的時間是t，
則2t+

π

3

=2π．（4分）
∴t=

5π

6

（秒），即第一次相遇的時間為

5π

6

秒．（6分）
（3）由題意可得，y=|sin（t+

π

3

）-sin（-t）|=|

3

2

sint+

3

2

cost|（8分）
=

3

|sin(t+

π

6

)|（10分）
當t+

π

6

=kπ+

π

2

即t=kπ+

π

3

，k∈Z時，（12分）
ymax=

3

（14分）

點評：本題考查了圓周運動的問題，認真分析題意列出方程，即第一次相遇時兩個動點走過的弧長和是圓周，這是解題的關鍵，考查了分析和解決問題的能力．