Question

如圖：A、B是單位圓上的動點，C是單位圓與x軸正半軸的交點，
且∠AOB=

π

6

，記∠COA=θ，θ∈（0，π），△AOC的面積為S．
（Ⅰ）設（θ）=OB→•OC→+2S，求f（θ）的最大值以及此時θ的值；
（Ⅱ）當A點坐標為(-

3

5

，

4

5

)時，求|

BC

|2的值．

Answer 1

分析：（1）根據三角形面積公式可知S=

1

2

sinθ，用θ分別表示出

OB

和

OC

，根據f(θ)=

OB

•

OC

+2S，θ的范圍求得函數的最大值．
（2）由題意可知cosθ與sinθ，由∠BOC=θ+

π

6

，根據余弦定理即可求得答案．

解答：解：（1）根據三角形面積公式可知S=

1

2

sinθ，

OB

=(cos(θ+

π

6

)，sin(θ+

π

6

))，

OC

=(1，0)
則f(θ)=

OB

•

OC

+2S=cos(θ+

π

6

)+sinθ=sin(θ+

π

3

)
∵θ∈（0，π），故θ=

π

6

時，f（θ）_max=1；
（2）由題意，cosθ=-

3

5

，sinθ=

4

5

，在△BOC中，∠BOC=θ+

π

6

，由余弦定理得：|

BC

|2=1+1-2×1×1×cos(θ+

π

6

)=2-

3

cosθ+sinθ=

14+3 3

5

．

點評：本題主要考查了余弦定理的運用．余弦定理是解三角形問題的常用方法，要熟練掌握余弦定理及其變式的應用．