Question

設是實數，函數（）．
（1）求證：函數不是奇函數；
（2）當時，求滿足的的取值范圍；
（3）求函數的值域（用表示）．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）當時，函數的值域是；
當時，函數的值域是；當時，函數的值域是． 

試題分析：（1）要證明函數不是奇函數，可用定義證，也可用其必要條件證，實質上證明否定性命題，只要舉一個反例即能說明，本題上中，就說明不是奇函數了；（2）由于，函數式中的絕對值符號可去掉，即，本題就是解關于的不等式，變形得，由于恒成立，因此，即，這是應該分兩種情況和分別求解；（3）本題要求函數的值域，一個要用換元法把指數式轉化為一般的代數式，其次要能夠對絕對值進行處理（實質是分類討論，分段函數），設，則，原函數變為，由（1）的結論知當時，有，值域可求，當時函數為注意分段求解，每一個都是二次函數在給定區間上求值域，最后還要適當合并，得出結論．時，，是增函數，則有，當時，，還要分和兩類情況討論．
試題解析：（1）假設是奇函數，那么對于一切，有，
從而，即，但是，矛盾．
所以不是奇函數．（也可用等證明）     （4分）
（2）因為，，所以當時，，由，得，即，，（2分）
因為，所以，即．  （3分）
①當，即時，恒成立，故的取值范圍是；（4分）
②當，即時，由，得，故的取值范圍是．          （6分）
（3）令，則，原函數變成．
①若，則在上是增函數，值域為．（2分）
②若，則   （3分）
對于，有，當時，是關于的減函數，的取值范圍是；當時，，當時，的取值范圍是，當時，的取值范圍是．  （5分)
對于，有是關于的增函數，
其取值范圍．                  （7分）
綜上，當時，函數的值域是；
當時，函數的值域是；
當時，函數的值域是．  （8分）