Question

為了凈化空氣，某科研單位根據實驗得出，在一定范圍內，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時間(單位：天)變化的函數關系式近似為若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由實驗知,當空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化空氣的作用．
（1）若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達幾天?
（2）若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑a（）個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續有效凈化，試求的最小值（精確到0.1，參考數據：取1.4）．

Answer 1

（1）可達8天;（2）a的最小值為．

試題分析：（1）根據題中條件每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時間(單位：天)變化的函數關系已經給出，則易得一次噴灑4個單位的凈化劑時的函數關系式：，這樣就得到一個分段函數，對分段函數的處理常用的原則：先分開，現合并，解兩個不等式即可求解; （2）中若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑a（）個單位的藥劑，根據題意從第6天開始濃度來源與兩方面，這是題中的難點，前面留下的為：，后面新增的為：，所得化簡即可得到：，結合基本不等式知識求出最小值，最后解一個不等式：，即可求解．
試題解析：（1）因為一次噴灑4個單位的凈化劑，
所以濃度
則當時，由，解得，所以此時．        3分
當時，由解得，所以此時．
綜合得，若一次投放4個單位的制劑，則有效凈化時間可達8天．       7分
（2）設從第一次噴灑起，經x（）天，
濃度．  10分
因為，而，
所以，故當且僅當時，y有最小值為.
令，解得，所以a的最小值為．    14分