Question

有下列命題：
①若f（x）存在導函數，則f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函數h（x）=cos⁴x-sin⁴x，則h′（

π

12

）=[h（

π

12

）]′；
③若函數g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），則g′（2010）=2009!；
④若三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點”的充要條件．
其中真命題的序號是（　　）

• A、③
• B、①③④
• C、①③
• D、②③

Answer 1

分析：①若f（x）存在導函數，根據復合函數的導數可知f′（2x）=2[f（2x）]′②若函數h（x）=cos⁴x-sin⁴x，則h′（

π

12

）=-2sin

π

6

而[h（

π

12

）]′=0，③若函數g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），則g'（x）中含（x-2010）的將2010代入都為0，則g′（2010）=2009!④若三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，則f'（x）=0有兩個不等的根即b²-3ac＞0，進行逐一判定．

解答：解：①若f（x）存在導函數，則f′（2x）=2[f（2x）]′，故不正確；
②若函數h（x）=cos⁴x-sin⁴x，則h′（

π

12

）=-2sin

π

6

=-1，而[h（

π

12

）]′=0，故不正確
③若函數g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），則g'（x）中含（x-2010）的將2010代入都為0，則g′（2010）=2009!故正確；
④若三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，則f'（x）=0有兩個不等的根即b²-3ac＞0，故不正確．
故選A

點評：本題主要考查了復合函數的導數，以及函數的極值、求值等有關知識，屬于綜合題．