Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命題：
①函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式可改寫(xiě)為y=4cos（2x-

π

6

）；
②函數(shù)y=f（x）的最小正周期為2π；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對(duì)稱；
④函數(shù) y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對(duì)稱；
⑤若f（x₁）=f（x₂）=0，則必有：x₁-x₂=

kπ

2

，k∈Z．
其中正確的是

①③⑤

（填序號(hào)，多填漏填均不給分）

Answer 1

分析：對(duì)①利用誘導(dǎo)公式sin（x+

π

2

）=cosx 驗(yàn)證即可；
根據(jù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）的最小正周期是π判斷②是否正確；
令x=-

π

6

，計(jì)算2x+

π

3

的值來(lái)驗(yàn)證③④是否正確；
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象特征判斷⑤是否正確．

解答：解：∵4cos（2x-

π

6

）=4sin（

π

2

+2x-

π

6

）=4sin（2x+

π

3

），∴①√；
∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），的最小正周期是π，∴②×；
∵x=-

π

6

，2x+

π

3

=0，∴點(diǎn)（-

π

6

，0）是對(duì)稱中心，∴③√；
∵x=-

π

6

，2x+

π

3

=0，∴線x=-

π

6

不是對(duì)稱軸，∴④×；
∵函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），的最小正周期是π，∴|x₁-x₂|最小為

π

2

，∴⑤√；
故答案是①③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查了y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)，它的最小正周期T=

2π

|ω|

；值域是[-A，A]，對(duì)稱軸方程x，滿足ωx+φ=kπ+

π

2

；對(duì)稱中心橫坐標(biāo)x，滿足ωx+φ=kπ，k∈Z．