Question

已知數集A={a₁，a₂，…，a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3）具有性質P：對?i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數中至少有一個屬于A．
（1）分別判斷數集{0，1，3}與數集{0，2，4，6}是否具有性質P，說明理由；
（2）求證：a₁+a₂+…+a_n=

n

2

a_n；
（3）已知數集A={a₁，a₂…，a₈}具有性質P．證明：數列a₁，a₂，a₈是等差數列．

Answer 1

分析：（1）利用新定義，可以判斷集合{0，1，3}不具有性質P，{0，2，4，6}具有性質P；
（2）令j=n，i＞1，可得a_n-a_i屬于A，證明a_n=a_i+a_n+1-i，倒序相加即可得到結論；
（3）由（2）可知，a_n=a_i+a_n+1-i，從而a₈=a_i+a_9-i，…①，再由a₈=a₂+a₇知，a₃+a₇，a₄+a₇，…，a₇+a₇均不屬于A，由A具有性質P，a₇-a₃，a₇-a₄，…，a₇-a₇均屬于A，從而有a_i-a_8-i=a₇…②．由①②可得a₈-a₇=a_i-a_i-1即可判斷具有性質P的集合A中的數列a₁，a₂，a₈是成等差數列．

解答：解：（1）由于3-1和3+1都不屬于集合{0，1，3}，所以該集合不具有性質P；
由于2+0、4+0、6+0、4+2、6-2、6-4、0-0、2-2、4-4、6-6都屬于集合{0，2，4，6}，所以該數集具有性質P． 
（2）令j=n，i＞1，則∵“a_i+a_j與a_j-a_i兩數中至少有一個屬于A”，
∴a_i+a_j不屬于A，∴a_n-a_i屬于A
令i=n-1，那么a_n-a_n-1是集合A中某項，a₁不行，是0，a₂可以．
如果是a₃或者a₄，那么可知a_n-a₃=a_n-1，那么a_n-a₂＞a_n-a₃=a_n-1，只能是等于a_n了，矛盾．
所以令i=n-1可以得到a_n=a₂+a_n-1，
同理，令i=n-2、n-3，…，2，可以得到a_n=a_i+a_n+1-i，
∴倒序相加即可得到a₁+a₂+a₃+…+a_n=

n

2

a_n．
（3）由（2）可知，a_n=a_i+a_n+1-i，（i=1，2，…，n）
∴a₈=a_i+a_9-i，…①
由a₈=a₂+a₇知，a₃+a₇，a₄+a₇，…，a₇+a₇均不屬于A，
由A具有性質P，a₇-a₃，a₇-a₄，…，a₇-a₇均屬于A，
∴a₇-a₇＜a₇-a₆＜…＜a₇-a₄＜a₇-a₃＜a₈-a₃，
∴a₈-a₃=a₆
∴a₇-a₇=0，a₇-a₆=a₂，a₇-a₅=a₃，…，a₇-a₃=a₅
即a_i-a_8-i=a₇…②
由①②可知a_i=a₈-a_9-i=a₈-（a₇-a_i-1）（i=1，2，3，…，8）
∴a₈-a₇=a_i-a_i-1
故a₁，a₂，a₈構成等差數列．

點評：本題考查數列的綜合應用，考查學生的應用知識分析、解決問題的能力，屬于難題．