Question

已知數集A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…a_n，n≥2）具有性質P；對任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j與

aj

ai

兩數中至少有一個屬于A．
（I）分別判斷數集{1，3，4}與{1，2，3，6}是否具有性質P，并說明理由；
（Ⅱ）證明：a₁=1，且

a1+a2+…+an

a -1 1 + a -1 2 +…+ a -1 n

=an；
（Ⅲ）證明：當n=5時，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比數列．

Answer 1

分析：（I）根據性質P；對任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j與

aj

ai

兩數中至少有一個屬于A，驗證給的集合集{1，3，4}與{1，2，3，6}中的任何兩個元素的積商是否為該集合中的元素；
（Ⅱ）由性質P，知a_na_n＞a_n，故a_na_n∉A，從而1=

an

an

∈A，a₁=1．再驗證又∵

an

an

＜

an

an-1

＜…＜

an

a2

＜

an

a1

，

an

an

=1，

an

an-1

=a2，…，

an

a2

=an-1，從而

an

an

+

an

an-1

+…+

an

a2

+

an

a1

=a₁+a₂+…+a_n，命題得證；
（Ⅲ）跟據（Ⅱ），只要證明

a5

a4

=

a4

a3

=

a3

a2

=

a2

a1

=a2即可．

解答：解：（Ⅰ）由于3×與均不屬于數集{1，3，4，
∴該數集不具有性質P．
由于1×2，1×3，1×6，2×3，

6

2

，

6

3

，

1

1

，

2

2

，

3

3

，都屬于數集{1，2，3，6，
∴該數集具有性質P．
（Ⅱ）∵A={a₁，a₂，…，a_n}具有性質P，
∴a_na_n與

an

an

中至少有一個屬于A，
由于1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，∴a_na_n＞a_n
故a_na_n∉A．
從而1=

an

an

∈A，a₁=1．
∵1=a₁＜a₂＜…a_n，n≥2，∴a_ka_n＞a_n（k=2，3，4，…，n），
故a_ka_n∉A（k=2，3，4，…，n）．
由A具有性質P可知

an

ak

∈A（k=2，3，4，…，n）．
又∵

an

an

＜

an

an-1

＜…＜

an

a2

＜

an

a1

，
∴

an

an

=1，

an

an-1

=a2，…，

an

a2

=an-1，
從而

an

an

+

an

an-1

+…+

an

a2

+

an

a1

=a₁+a₂+…+a_n，
∴且

a1+a2+…+an

a -1 1 + a -1 2 +…+ a -1 n

=an；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當n=5時，
有

a5

a4

=a2，

a5

a3

=a3，即a₅=a₂•a₄=a₃²，
∵1=a₁＜a₂＜…＜a₅，∴a₃a₄＞a₂a₄=a₅，∴a₃a₄∉A，
由A具有性質P可知

a4

a3

∈A．
由a₂•a₄=a₃²，得

a3

a2

= 

a4

a3

∈A，
且1＜

a3

a2

=a2，∴

a3

a2

=

a4

a3

=a2，
∴

a5

a4

=

a4

a3

=

a3

a2

=

a2

a1

=a2，
即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅ 是首項為1，公比為a₂等比數列．

點評：本題主要考查集合、等比數列的性質，考查運算能力、推理論證能力、分分類討論等數學思想方法．此題能很好的考查學生的應用知識分析、解決問題的能力，側重于對能力的考查，屬于較難層次題．