Question

【題目】已知直線、與曲線分別相交于點、和、，我們將四邊形稱為曲線的內接四邊形．

（1）若直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，求的值；

（2）若直線，與圓分別交于點、和、，求證：四邊形為正方形；

（3）求證：橢圓的內接正方形有且只有一個，并求該內接正方形的面積．

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析 （3）證明見解析

【解析】

（1）根據直線分圓分成長度相等的四段弧，得到，利用點到直線的距離公式進行求解即可．

（2）根據直線與圓相交的位置關系，利用消元法轉化為一元二次方程，根據根與系數之間的關系進行證明即可；

（3）根據橢圓內接正方形的關系，轉化為一元二次方程，根據根與系數之間的關系進行證明即可.

解：（1）由于直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，

所以，

在等腰直角中，圓心到直線的距離為，∴，

同理，∴；

（2）由題知，直線，關于原點對稱，因為圓的圓心為原點，

所以，故四邊形為平行四邊形．易知，點在對角線，上．

聯立解得，由，得

，

所以，

于是，因為，所以四邊形ABCD為正方形．

（3）證明：假設橢圓存在內接正方形，其四個頂點為，，，．

當直線的斜率不存在時，設直線、的方程為，，因為，，，在橢圓上，

所以，，，．

由四邊形為正方形，易知，，，直線、的方程為，，

正方形的面積．

當直線的斜率存在時，設直線、的方程分別為，，

顯然．設，，，，

聯立得，所以，

代人，得，

同理可得，

因為為正方形，所以解得

因為，所以，

因此，直線與直線關于原點對稱，

所以原點為正方形的中心（由知，四邊形為平行四邊形

由為正方形知，

即

代入得，解得（注：此時四邊形為菱形）

由為正方形知，

因為直線與直線的距離為，，故

但，

由得，

∴即，與矛盾．

所以，這與矛盾．

即當直線的斜率存在時，橢圓內不存在正方形．

綜上所述，橢圓的內接正方形有且只有一個，且其面積為．