【題目】已知橢圓
的兩個焦點
，
與短軸的一個端點構成一個等邊三角形，且直線
與圓
相切.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知過橢圓
的左頂點
的兩條直線
，
分別交橢圓于
，
兩點，且
，求證：直線
過定點，并求出定點坐標；
（3）在（2）的條件下求
面積的最大值.
【答案】（1）
;（2）證明見；解析；定點
；（3）
.
【解析】
（1）根據直線與圓相切得圓心到直線距離等于半徑列一個方程，再根據等邊三角形性質得
，解方程組得
，即得結果；
（2）先設直線方程，與橢圓方程聯立分別解得M,N坐標，再求斜率（注意討論），利用點斜式得直線方程，即得定點坐標；
（3）利用韋達定理以及弦長公式得
，再根據三角形面積公式得
面積的函數關系式，最后根據基本不等式求最大值.
（1）由題意可得：
，
，
橢圓
的方程為：.
（2）由題意知
，設：
，
.
由
消去
得：
，
解得：
或
（舍去），
，
，同理可得：
.
i：當
時，直線
斜率存在，
，
，直線
過定點.
ii：當
時，直線斜率不存在，直線方程為：
，也過定點，
綜上所述：直線過定點.
（3）設
，由（2）知：
，
令
，
在
單調遞減，
∴當
時，
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面上有7個點，每三點的兩兩連線都組成一個不等邊三角形．求證：一定可以找到4對三角形，使每對三角形的公共邊既是其中一個三角形的最長邊又是另一個三角形的最短邊．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲乙兩名射擊運動員分別對一目標射擊一次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求：
（1）2人都射中目標的概率；
（2）2人中恰有1人射中目標的概率；
（3）2人至少有1人射中目標的概率。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明;
(3)當a>1時,求使f(x)>0的解集.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋
（c＞0，n∈N*），
（Ⅰ）證明：an＋1＞an≥1；
（Ⅱ）若對任意n∈N*，都有
,證明：（ⅰ）對于任意m∈N*，當n≥m時，
（ⅱ）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的是（ ）
A.某班
位同學從文學、經濟和科技三類不同的圖書中任選一類，不同的結果共有
種；
B.甲乙兩人獨立地解題，已知各人能解出的概率分別是
，則題被解出的概率是
；
C.某校
名教師的職稱分布情況如下：高級占比
，中級占比
，初級占比
，現從中抽取
名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級教師應抽取
人；
D.兩位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了了解某高校學生喜歡使用手機支付是否與性別有關，抽取了部分學生作為樣本，統計后作出如圖所示的等高條形圖，則下列說法正確的是（ ）
A.喜歡使用手機支付與性別無關
B.樣本中男生喜歡使用手機支付的約
C.樣本中女生喜歡使用手機支付的人數比男生多
D.女生比男生喜歡使用手機支付的可能性大些
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的離心率為
，以
為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）已知點
，和平面內一點
（
），過點
任作直線
與橢圓
相交于
， 
兩點，設直線
， 
， 
的斜率分別為
， 
， 
， 
，試求
， 
滿足的關系式．
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