Question

已知矩陣M=

2 a 2 1

，其中a∈R，若點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P'（-4，0）
（1）求實數a的值；
（2）求矩陣M的特征值及其對應的特征向量．

Answer 1

分析：（1）點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P'（-4，0），利用二階矩陣與平面列向量的乘法可求實數a的值；
（2）先求矩陣M的特征多項式f（λ），令f（λ）=0，從而可得矩陣M的特征值，進而可求特征向量．

解答：解：（1）由

2 a 2 1

1 -2

=

-4 0

，∴2-2a=-4⇒a=3．
（2）由（1）知M=

2 3 2 1

，則矩陣M的特征多項式為f(λ)=

.

λ-2 -3 -2 λ-1

.

=(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為-1與4．
當λ=-1時，

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

⇒x+y=0
∴矩陣M的屬于特征值-1的一個特征向量為

1 -1

；
當λ=4時，

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

⇒2x-3y=0
∴矩陣M的屬于特征值4的一個特征向量為

3 2

．

點評：本題主要考查二階矩陣與平面列向量的乘法，考查矩陣M的特征值及其對應的特征向量． 關鍵是寫出特征多項式，從而求得特征值．