Question

【題目】將邊長分別為的正方形疊放在一起,形成如圖所示的圖形,由小到大,依次記各陰影部分所在的圖形為第1個、第2個、……、第個陰影部分圖形.設前個陰影部分圖形的面積的平均值為.記數列滿足:.

(1)求的表達式及數列的通項公式；

(2)記若,其中為常數,且恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ，

(2)

【解析】

(1)由第一個陰影部分圖形的面積為，第二個陰影部分圖形的面積為…第個陰影部分圖形的面積為，然后求出即可，再利用 ，求通項公式即可；

(2)先運算行列式可得：恒成立,再討論當時，當為偶數時， 當為大于1的奇數時，求出的范圍即可得解.

解：(1)由題意可得：第一個陰影部分圖形的面積為，第二個陰影部分圖形的面積為…第個陰影部分圖形的面積為，則

，

又且，則，，

當為偶數時，，

當為大于1的奇數時，，

即 ；

(2)由(1)得：，

又恒成立,即恒成立,即恒成立,

當時，，即，

當為偶數時，恒成立,

即，

即恒成立,

即，

當為大于1的奇數時，恒成立,

即恒成立，

即恒成立，即，

綜上所述：的取值范圍為.