Question

已知O為坐標原點，點M，N分別在x，y軸上運動，且|MN|=4，動點P滿足．
（I）求動點P的軌跡C的方程．
（II）過點（0，2）的直線l與C交于不同兩點A，B．
①求直線l斜率k的取值范圍．②若OA⊥OB，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設M（a，0），N（0，b），P（x，y），由條件將a和b用x和y表達，代入|MN|=4即可．
（II）①設出直線l的方程，與軌跡C的方程聯立、消元、△＞0解不等式即可
②設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0，由維達定理表示出x₁x₂和y₁y₂代入求解即可．
解答：解：（I）設M（a，0），N（0，b），P（x，y），由條件得（x-a，y）=（-x，b-y），即
因為|MN|=4，所以a²+b²=16，即
（II）設直線l的方程為：y=kx+2，與橢圓方程聯立、消元得：（1+9k²）x²+36kx+27=0  （1）
①直線l與C交于不同兩點A，B則△＞0，解得或
②設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0  （2），
由（1）可得x₁x₂=，x₁+x₂=
所以y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=
代入（2）得，k=
所以直線l的方程為：
點評：本題考查相關點法求軌跡方程、直線和橢圓位置關系的判斷、維達定理的應用等知識，考查運算能力和轉化能力．