Question

【題目】已知函數，其中．

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數存在兩個極值點，，且，證明：．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】分析：（1）對m分類討論求函數的單調區間.(2)先求出，再構造函數，，求它的范圍.

詳解：（1）函數定義域為，且，，

令，，

當，即時，，∴在上單調遞減；

當，即時，由，解得，，

若，則，∴時，，單調遞減；

時，，單調遞增；時，，單調遞減；

若，則，∴時，，單調遞減；時，，單調遞增；

綜上所述：時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

時，的單調遞減區間為，，單調遞增區間為；

時，的單調遞減區間為．

（2）因為函數定義域為，且，

∵函數存在兩個極值點，∴在上有兩個不等實根，，

記，則∴，

從而由且，可得，，

∴ ，

構造函數，，

則，

記，，則，

令，得（，故舍去），

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

又，，

∴當時，恒有，即，

∴在上單調遞減，

∴，即，

∴．