【題目】畢達(dá)哥拉斯樹是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)“勾股定理”所畫出來(lái)的一個(gè)可以無(wú)限重復(fù)的圖形，也叫“勾股樹”，其是由一個(gè)等腰直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形而得到.圖1所示是第1代“勾股樹”，重復(fù)圖1的作法，得到第2代“勾股樹”(如圖2)，如此繼續(xù).若“勾股樹”上共得到8191個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為1，則最小正方形的邊長(zhǎng)為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
由圖可知，設(shè)第
個(gè)圖中正方形的個(gè)數(shù)為
，則
，結(jié)合累加法可求出
，令
，可確定第12個(gè)圖形中得到8191個(gè)正方形；結(jié)合邊長(zhǎng)規(guī)律，即第個(gè)圖中最小正方形邊長(zhǎng)為
，從而可求出答案.
解：設(shè)第個(gè)圖中正方形的個(gè)數(shù)為，則由圖可知
則
，將個(gè)式子相加可得
，
所以
，當(dāng)
時(shí)，
，
所以.令，解得
.
由題意知，第一個(gè)圖中最小正方形邊長(zhǎng)為
，第二個(gè)圖中最小正方形邊長(zhǎng)為
，
則第個(gè)圖中最小正方形邊長(zhǎng)為，則
.
故選:B.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
為常數(shù)．
（1）若直線
是曲線
的一條切線，求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)
時(shí)，若函數(shù)
在
上有兩個(gè)零點(diǎn)．求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知
，
且
，圓
，點(diǎn)
，
是圓
上的動(dòng)點(diǎn)，線段
的垂直平分線交直線
于點(diǎn)
，點(diǎn)的軌跡為曲線
.
（1）討論曲線的形狀，并求其方程；
（2）若
，且
面積的最大值為
，直線
過(guò)點(diǎn)
且不垂直于坐標(biāo)軸，與曲線交于
，點(diǎn)
關(guān)于
軸的對(duì)稱點(diǎn)為
．求證：直線
過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)數(shù)列
（任意項(xiàng)都不為零）的前
項(xiàng)和為
，首項(xiàng)為
，對(duì)于任意
，滿足
.
（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在
使得
成等比數(shù)列，且
成等差數(shù)列？若存在，試求
的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)數(shù)列
，
，若由
的前
項(xiàng)依次構(gòu)成的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求正整數(shù)的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，點(diǎn)
在以
為直徑的上運(yùn)動(dòng)，
平面
，且
，點(diǎn)
、
分別是
、
的中點(diǎn)．
（1）求證：平面
平面
；
（2）若
，求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
，點(diǎn)
在橢圓
上，過(guò)點(diǎn)
作斜率為
的直線恰好與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)
為橢圓的長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為
的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)
，
，是否存在常數(shù)
，使
成等差數(shù)列？若存在，求出的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖是1990年-2017年我國(guó)勞動(dòng)年齡（15-64歲）人口數(shù)量及其占總?cè)丝诒戎厍闆r：
根據(jù)圖表信息，下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論不正確的是（ ）
A. 2000年我國(guó)勞動(dòng)年齡人口數(shù)量及其占總?cè)丝诒戎氐哪暝龇鶠樽畲?/span>
B. 2010年后我國(guó)人口數(shù)量開始呈現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)
C. 2013年我國(guó)勞動(dòng)年齡人口數(shù)量達(dá)到峰值
D. 我國(guó)勞動(dòng)年齡人口占總?cè)丝诒戎貥O差超過(guò)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，其前
項(xiàng)和為
，
且
，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)設(shè)數(shù)列
滿足
，
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②是否存在正整數(shù)
，使得
，
，
成等差數(shù)列？若存在，求出
的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
其中a為常數(shù)，設(shè)e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）當(dāng)
時(shí)，求
過(guò)切點(diǎn)為
的切線方程；
（2）若在區(qū)間
上的最大值為
，求a的值；
（3）若不等式
恒成立，求a的取值范圍.
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