Question

【題目】已知函數是定義在R上的奇函數，當時，．

（Ⅰ）求函數在R上的解析式；

（Ⅱ）若，函數，是否存在實數m使得的最小值為，若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在實數使得的最小值為．

【解析】

Ⅰ根據奇函數的對稱性進行轉化求解即可．

Ⅱ求出的表達式，利用換元法轉化為一元二次函數，通過討論對稱軸與區間的關系，判斷最小值是否滿足條件即可．

Ⅰ若，則，

∵當時，且是奇函數，

∴當時，，

即當時，，

則．

Ⅱ若，

，

設，∵，∴，

則等價為，

對稱軸為，

若，即時，在上為增函數，此時當時，最小，

即，即成立，

若，即時，在上為減函數，此時當時，最小，

即，此時不成立，

若，即時，在上不單調，此時當時，最小，

即，

此時在時是減函數，當時取得最小值為，即此時不滿足條件．

綜上只有當才滿足條件．

即存在存在實數使得的最小值為．