Question

（已知橢圓 經(jīng)過(guò)點(diǎn)其離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn).求到直線距離的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）；(Ⅱ)

試題分析：（Ⅰ）由離心率為，得①，又過(guò)點(diǎn)，得②，聯(lián)立①②求；
(Ⅱ)直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，一般會(huì)根據(jù)已知條件結(jié)合韋達(dá)定理列式確定參數(shù)的值或者取值范圍，設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓方程，消去，得關(guān)于的二次方程，設(shè)，利用韋達(dá)定理將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024151324248.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，代入橢圓方程，得的等式①，點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立①得關(guān)于，或的函數(shù)，進(jìn)而求其最小值，再考慮斜率不存在時(shí)的情況，求最小值，然后和斜率存在時(shí)候的最小值比較大小，得結(jié)論.
試題解析：（Ⅰ）由已知，所以, ①  又點(diǎn)在橢圓上，所以，     ②  由①②解之得,故橢圓的方程為 ；
(Ⅱ)當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)時(shí)，則由
消去得，
，  ③
設(shè)則，由于點(diǎn)在橢圓上，所以，從而，化簡(jiǎn)得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足③式，又點(diǎn)到直線的距離為：，并且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)一定在軸上，從而點(diǎn)為，直線為，所以點(diǎn)到直線的距離為1，所以點(diǎn)到直線的距離最小值為.