Question

如圖1，在直角梯形中，，.把沿折起到的位置，使得點在平面上的正投影恰好落在線段上，如圖2所示，點分別為棱的中點.

（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面；
（3）若，求四棱錐的體積.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析.（3）.

試題分析：（1）因為點在平面上的正投影恰好落在線段上，
所以平面，；
由，知是中點，得到，；
同理；
根據，得到平面平面.
（2）根據，得到
再平面，平面，得到；
即可得到平面.
（3）由已知可得，
利用等邊三角形得到高，即點到平面的距離為，根據是的中點，得到到平面的距離為應用體積公式計算.
試題解析：（1）因為點在平面上的正投影恰好落在線段上
所以平面，所以                        1分
因為，
所以是中點，                    2分
所以 ，
所以                          3分
同理
又
所以平面平面             5分
（2）因為，
所以
又平面，平面
所以                7分
又
所以平面             8分
（3）因為，，所以，而點分別是的中點，所以，                10分
由題意可知為邊長為5的等邊三角形，所以高，         11分
即點到平面的距離為，又為的中點，所以到平面的距離為，故.          12分