Question

(本小題滿分14分)已知數列是各項均不為的等差數列，公差為，為其前項和，且滿足，．數列滿足，為數列的前項和．
（1）求、和；
（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有
的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），，．
（2）的取值范圍是．
（3）當且僅當， 時，數列中的成等比數列．

本試題主要是考查了數列通項公式與前n項和之間的關系的運用以及分類討論思想求解最值。
（1）利用 a_n²=S_2n-1，n取1或2，可求數列的首項與公差，從人體可得數列的通項，進而可求數列的和；
（2）分類討論，分離參數，求出對應函數的最值，即可求得結論．
（3）根據已知值成等比數列，可知參數m的范圍，然后利用m是整數，得到值。
解：（1）（法一）在中，令，，
得  即      ………………………2分
解得，，                       …………………3分
．
，
．       ……………………5分
（法二）是等差數列，
．               …………………………2分
由，得 ，                        
又，，則．              …………………3分
(求法同法一)
（2）①當為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．      …………………………………6分
，等號在時取得．           
此時 需滿足．               …………………………7分
②當為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．       ……………………………8分
是隨的增大而增大， 時取得最小值．
此時 需滿足．               …………………………9分
綜合①、②可得的取值范圍是．  …………………………10分
（3），
若成等比數列，則，即．11分
（法一）由，　　可得，
即， 　　　……………………12分
．    ……………………13分
又，且，所以，此時．
因此，當且僅當， 時，數列中的成等比數列．…………14分
（法二）因為，故，即，
，（以下同上）．…………………13分