Question

（本題滿分8分）如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上辟一個內接四邊形為綠地，使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知AB＝a（a>2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，設AE＝x，綠地面積為y．

(Ⅰ)寫出y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域；

(Ⅱ)當AE為何值時，綠地面積最大？

 

Answer 1

【答案】

 

(Ⅰ) y＝－2x²＋(a＋2)x，其定義域為

(Ⅱ) 當a<6時，AE＝時，綠地面積取最大值；當a≥6時，AE＝2時，綠地面積取最大值2a－4．

【解析】解：（1）S_ΔAEH＝S_ΔCFG＝x²，S_ΔBEF＝S_ΔDGH＝(a－x)(2－x)．   ……1分

∴y＝S_ABCD－2S_ΔAEH－2S_ΔBEF＝2a－x²－(a－x)(2－x)＝－2x²＋(a＋2)x． ……3分

由 ，得

∴y＝－2x²＋(a＋2)x，其定義域為．    ……4分

（2）當，即a<6時，則x＝時，y取最大值．    ……6分

當≥2，即a≥6時，y＝－2x²＋(a＋2)x，在0，2]上是增函數，則x＝2時，y取最大值2a－4    ．    ……8分

綜上所述：當a<6時，AE＝時，綠地面積取最大值；當a≥6時，AE＝2時，綠地面積取最大值2a－4．