Question

已知f(x)=x²+c,且f［f(x)］=f(x²+1)
(1)設g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；
(2)設φ(x)=g(x)-λf(x),試問:是否存在實數λ,使φ(x)在(-∞,-1)內為減函數，且在(-1，0)內是增函數

Answer 1

(1) f(x)= (x²+1)²+1 (2) 當λ=4時，φ(x)在(－∞,－1)上是減函數，在(－1,0)上是增函數，即滿足條件的λ存在
(1)由題意得f［f(x)］=f(x²+c)=(x²+c)²+c
f(x²+1)=(x²+1)²+c,∵f［f(x)］=f(x²+1)
∴(x²+c)²+c=(x²+1)²+c,
∴x²+c=x²+1,∴c=1
∴f(x)=x²+1,g(x)=f［f(x)］=f(x²+1)=(x²+1)²+1
(2)φ(x)=g(x)－λf(x)=x⁴+(2－λ)x²+(2－λ)
若滿足條件的λ存在，則φ′(x)=4x³+2(2－λ)x
∵函數φ(x)在(－∞,－1)上是減函數，
∴當x＜－1時，φ′(x)＜0
即4x³+2(2－λ)x＜0對于x∈(－∞,－1)恒成立
∴2(2－λ)＞－4x²,
∵x＜－1,∴－4x²＜－4
∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4
又函數φ(x)在(－1,0)上是增函數
∴當－1＜x＜0時，φ′(x)＞0
即4x²+2(2－λ)x＞0對于x∈(－1,0)恒成立
∴2(2－λ)＜－4x²,
∵－1＜x＜0,∴－4＜4x²＜0
∴2(2－λ)≤－4,解得λ≥4