Question

如圖，已知直線l₁：4x+y=0，直線l₂：x+y-1=0以及l₂上一點P（3，-2）．
（Ⅰ）求圓心M在l₁上且與直線l₂相切于點P的圓⊙的方程．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下；若直線l₁分別與直線l₂、圓⊙依次相交于A、B、C三點，利用代數法驗證：|AP|²=|AB|•|AC|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據圓心坐標和圓半徑能導出b=-4a．設直線l₂的斜率k₂=-1，過P，C兩點的直線斜率k_PC，因PC⊥l₂，k_PC=1，由此可得到所求圓的方程．
（Ⅱ）由題設條件求出A(-

1

3

，

4

3

)和圓心M（1，-4），由此能得到|AP|和|AM|，再由|AB|•|AC|=（|AM|-r）（|AM|+r）
=|AM|2-r2=

272

9

-8=

200

9

=|AP|²，化簡得證答案．

解答：解：（Ⅰ）設圓心為M（a，b），半徑為r，依題意，
b=-4a．（2分）
設直線l₂的斜率k₂=-1，過P，C兩點的直線斜率k_PC，因PC⊥l₂，
故k_PC×k₂=-1，
∴kPC=

-2-(-4a)

3-a

=1，（4分）
解得a=1，b=-4.r=|PC|=2

2

．（5分）
所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=(2

2

)2．（6分）
（Ⅱ）聯立

4x+y=0 x+y-1=0

?

x= 1 3 y= 2 3

則A(-

1

3

，

4

3

)
則|AP|2=(3+

1

3

)2+(-2-

4

3

)2=

200

9

．（8分）
圓心M（1，-4），|AM|2=(1+

1

3

)2+(-4-

4

3

)2=

272

9

|AB|•|AC|=（|AM|-r）（|AM|+r）
=|AM|2-r2=

272

9

-8=

200

9

=|AP|²．（11分）
所以|AP|²=|AB|•|AC|得到證明（12分）

點評：本題主要考查圓的幾何性質，直線與圓的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和基本解題能力．