Question

設函數（n∈N，且n＞1，x∈N）．
（Ⅰ）當x=6時，求的展開式中二項式系數最大的項；
（Ⅱ）對任意的實數x，證明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的導函數）；
（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜＜（a+1）n恒成立？若存在，試證明你的結論并求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二項式系數的特點，找到展開式系數最大的項，即第四項；
（2）利用基本不等式適當放縮進行證明或函數思想進行轉化與證明；
（3）探究性問題處理不等式問題，要注意對展開式系數進行適當放縮從而達到證明的目的．
解答：解：（Ⅰ）展開式中二項式系數最大的項是第4項，這項是
（Ⅱ）證法一：因=
證法二：因=
而
故只需對和進行比較．
令g（x）=x-lnx（x≥1），有
由，得x=1
因為當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；當1＜x＜+∞時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，所以在x=1處g（x）有極小值1
故當x＞1時，g（x）＞g（1）=1，
從而有x-lnx＞1，亦即x＞lnx+1＞lnx
故有恒成立．
所以f（2x）+f（2）≥2f′（x），原不等式成立．
（Ⅲ）對m∈N，且m＞1
有
=
=
＜

=
＜3；
又因＞0（k=2，3，…，m），故
∵，從而有成立，
即存在a=2，使得恒成立．
點評：本題考查函數、不等式、導數、二項式定理、組合數計算公式等內容和數學思想方法．考查綜合推理論證與分析解決問題的能力及創新意識．