Question

設函數f（x）的定義域、值域均為R，f（x）的反函數為f^-1（x），且對于任意的x∈R，均有f(x)+f-1(x)＜

5

2

x，定義數列{a_n}，a₀=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：an+1+an-1＜

5

2

an（n∈N^*）．
（Ⅱ）設b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^*），求證：b_n＜（-6）•2^-n（n∈N^*）；
（Ⅲ）是否存在常數A，B同時滿足條件：
①當n=0，1時，an=

A•4n+B

2n

；
②當n≥2時（n∈N^*，）an＜

A•4n+B

2n

．如果存在，求出A，B的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an+1+an-1=f(an)+f-1(an)＜

5

2

an，知an+1+an-1＜

5

2

an．
（Ⅱ）an+1-2an＜

1

2

(an-2an-1)，知bn＜

1

2

bn-1，由此得bn＜

1

2

bn-1＜(

1

2

)2bn-2＜…＜(

1

2

)nb0，由此能證明b_n＜-6•2^-n．
（Ⅲ）若存在滿足①②的A，B，由①得

a0=A+B=8 a1= 4A+B 2 =10

⇒

A=4 B=4

，由此能夠證明存在A=B=4滿足①，②．

解答：解（Ⅰ）an+1+an-1=f(an)+f-1(an)＜

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2

an，即an+1+an-1＜

5

2

an．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an+1-2an＜

1

2

(an-2an-1)
即，bn＜

1

2

bn-1，由此得bn＜

1

2

bn-1＜(

1

2

)2bn-2＜…＜(

1

2

)nb0，而b₀=a₁-2a₀=-6，
所以b_n＜-6•2^-n．
（Ⅲ）若存在滿足①②的A，B，
由①得

a0=A+B=8 a1= 4A+B 2 =10

⇒

A=4 B=4

下證A=B=4滿足②，即證2ⁿa_n＜4ⁿ⁺¹+4
由（Ⅱ）得2ⁿ⁺¹a_n+1-4•2ⁿa_n+12＜0，設2ⁿa_n=U_n，
則有U_n+1＜4U_n-12，即U_n+1-4＜4（U_n-4），
由此得U_n-4＜4（U_n-1-4）＜4²（U_n-2-4）＜…＜4ⁿ（U₀-4）
而U₀=2⁰a₀=8，
所以U_n-4＜4ⁿ⁺¹即2ⁿa_n＜4ⁿ⁺¹+4由此可知A=B=4滿足②，
所以存在A=B=4滿足①，②．

點評：本題考查不等式的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．