Question

（本題20分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題6分，第4小題4分）
我們知道，判斷直線與圓的位置關系可以用圓心到直線的距離進行判別，那么直線與橢圓的位置關系有類似的判別方法嗎？請同學們進行研究并完成下面問題。
（1）設F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，點F₁、F₂到直線的距離分別為d₁、d₂，試求d₁·d₂的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關系。
（2）設F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，點F₁、F₂到直線       （m、n不同時為0）的距離分別為d₁、d₂，且直線L與橢圓M相切，試求d₁·d₂的值。
（3）試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關系的充要條件，并證明。
（4）將（3）中得出的結論類比到其它曲線，請同學們給出自己研究的有關結論（不必證明）。

Answer 1

（本題20分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題6分，第4小題4分）
（1）； ………………2分
聯立方程； …………3分
與橢圓M相交。 …………4分
（2）聯立方程組
消去

（3）設F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，點F₁、F₂到直線
的距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線L的同側。那么直線L與橢圓相交的充要條件為：；直線L與橢圓M相切的充要條件為：；直線L與橢圓M相離的充要條件為：　……14分
證明：由（2）得，直線L與橢圓M相交

命題得證。
（寫出其他的充要條件僅得2分，未指出“F₁、F₂在直線L的同側”得3分）
（4）可以類比到雙曲線：設F₁、F₂是雙曲線的兩個焦點，點F₁、F₂到直線距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線L的同側。那么直線L與雙曲線相交的充要條件為：；直線L與雙曲線M相切的充要條件為：；直線L與雙曲線M相離的充要條件為：………………20分
（寫出其他的充要條件僅得2分，未指出“F₁、F₂在直線L的同側”得3分）

同答案