Question

已知a＞0，函數f(x)=

x2

2

+2a(a+1)lnx-(3a+1)x．
（1）若函數f（x）在x=1處的切線與直線y-3x=0平行，求a的值；
（2）求函數f（x）的單調遞增區間；
（3）在（1）的條件下，若對任意x∈[1，2]，f（x）-b²-6b≥0恒成立，求實數b的取值組成的集合．

Answer 1

分析：（1）f′(x)=x+

2a(a+1)

x

-(3a+1)，由已知f'（1）=3，能求出a的值．
（2）由f′(x)=x+

2a(a+1)

x

-(3a+1)=

x2-(3a+1)x+2a(a+1)

x

=

(x-2a)[x-(a+1)]

x

，根據a的取值范圍進行分類討論，能求出函數f（x）的單調遞增區間．
（3）當a=

3

2

時，f(x)=

x2

2

+

15

2

lnx-

11x

2

，由該函數在(0，

5

2

)上單調遞增，知在區間[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1處取到，由此能求出實數b的取值組成的集合．

解答：解：（1）f′(x)=x+

2a(a+1)

x

-(3a+1)，
由已知f'（1）=3，即2a²-a=3，2a²-a-3=0，
解得a=

3

2

或a=-1．…（2分）
又因為a＞0，所以a=

3

2

．…（3分）
（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），…（4分）
f′(x)=x+

2a(a+1)

x

-(3a+1)=

x2-(3a+1)x+2a(a+1)

x

=

(x-2a)[x-(a+1)]

x

，
①當2a＞a+1，即a＞1時，
由f'（x）＞0得x＞2a或0＜x＜a+1，
因此函數f（x）的單調增區間是（0，a+1）和（2a，+∞）．
②當2a＜a+1，即0＜a＜1時，
由f'（x）＞0得x＞a+1或0＜x＜2a，
因此函數f（x）的單調增區間是（0，2a）和（a+1，+∞）．
③當2a=a+1，即a=1時f'（x）≥0恒成立（只在x=2a處等于0），
所以函數在定義域（0，+∞）上是增函數．…（7分）
綜上：①當a＞1時，函數f（x）的單調增區間是（0，a+1）和（2a，+∞）；
②當0＜a＜1時，函數f（x）的單調增區間是（0，2a）和（a+1，+∞）；
③當a=1時，函數f（x）的單調增區間是（0，+∞）．…（8分）
（3）當a=

3

2

時，f(x)=

x2

2

+

15

2

lnx-

11x

2

，
由（2）知該函數在(0，

5

2

)上單調遞增，
因此在區間[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1處取到．…（10分）
又f(1)=

1

2

-

11

2

=-5，
若要保證對任意x∈[1，2]，f（x）-b²-6b≥0恒成立，
應該有-5≥b²+6b，即b²+6b+5≤0，解得-5≤b≤-1，
因此實數b的取值組成的集合是{b|-5≤b≤-1}．…（12分）

點評：本題考查導數的幾何意義的應用，考查函數的增區間的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想、分類討論思想、導數性質的合理運用．