Question

已知函數f(x)=lg(

2a

1+x

-1)（其中a＞0）．求證：
（1）用反證法證明函數f（x）不能為偶函數；
（2）函數f（x）為奇函數的充要條件是a=1．

Answer 1

證明：（1）假設函數f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x），
∴lg(

2a

1-x

-1)=lg(

2a

1+x

-1)，即

2a

1-x

-1=

2a

1+x

-1，化簡得：

4ax

1-x2

=0，
∴a=0，與條件a＞0矛盾，
∴函數f（x）不能為偶函數．…（7分）
（2）充分性：由a=1，函數f(x)=lg(

2

1+x

-1)=lg

1-x

1+x

，
∵

1-x

1+x

＞0，∴-1＜x＜1，
又f（x）+f（-x）=lg

1-x

1+x

+lg

1+x

1-x

=lg1=0，
∴當a=1時，函數f（x）為奇函數．…（10分）
必要性：由函數f（x）為奇函數，即f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）+f（-x）=lg(

2a-1-x

1+x

)+lg(

2a-1+x

1-x

)=0，化簡得（2a-1）²=1，
∵a＞0，∴a=1，
∴當函數f（x）為奇函數時，a=1．…（14分）
（注：必要性的證明也可由定義域的對稱性得到a=1）