Question

【題目】已知點在橢圓上，為坐標原點，直線的斜率與直線的斜率乘積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）不經過點的直線（且）與橢圓交于，兩點，關于原點的對稱點為（與點不重合），直線，與軸分別交于兩點，，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據橢圓的中點弦所在直線的斜率的性質，得到，得到，再結合橢圓所過的點的坐標滿足橢圓方程，聯立方程組，求得，進而求得橢圓的方程；

（Ⅱ）將直線方程與橢圓方程聯立，消元，利用韋達定理得到兩根和與兩根積，將證明結果轉化為證明直線，的斜率互為相反數，列式，可證.

（Ⅰ）由題意，，

即① 又②

聯立①①解得

所以，橢圓的方程為：.

（Ⅱ）設，，，由，

得，

所以，即，

又因為，所以，，

，，

解法一：要證明，可轉化為證明直線，的斜率互為相反數，只需證明，即證明.

∴

∴，∴.

解法二：要證明，可轉化為證明直線，與軸交點、連線中點的縱坐標為，即垂直平分即可.

直線與的方程分別為：

，，

分別令，得，

而，同解法一，可得

，即垂直平分.

所以，.