Question

11、若不等式x²-2ax+a＞0對x∈R恒成立，則關于t的不等式a^2t+1＜a^t2+2t-3的解集為

（-2，2）

Answer 1

分析：由不等式x²-2ax+a＞0對x∈R恒成立，我們可以得到0＜a＜1，則我們可以根據指數函數的單調性，將不等式a^2t+1＜a^t2+2t-3轉化成一個關于t的整式不等式，解不等式即可得到不等式a^2t+1＜a^t2+2t-3的解集．

解答：解：∵若不等式x²-2ax+a＞0對x∈R恒成立
∴△=4a²-4a＜0
即0＜a＜1
此時，y=a^x為減函數
又∵a^2t+1＜a^t2+2t-3
∴2t+1＞t²+2t-3
即t²-4＜0
解得-2＜t＜2
故不等式a^2t+1＜a^t2+2t-3的解集為（-2，2）
故答案為：（-2，2）

點評：函數y=a^x和函數y=log_ax，在底數a＞1時，指數函數和對數函數在其定義域上均為增函數，當底數0＜a＜1時，指數函數和對數函數在其定義域上均為減函數，故我們可以根據指數函數和對數函數的性質，將指數不等式或對數不等式轉化為整式不等式．