Question

【題目】已知橢圓C1： （a＞b＞0）的離心率為 ，且過點（1， ）．
（1）求C1的方程；
（2）設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由e= = = ，

∴a2=2b2，

將點（1， ）代入 ，

解得：b=1，a= ，

∴C1的方程 ；

（2）解：由題顯然直線存在斜率，

∴設其方程為y=kx+m，

∴ ，整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

由△=0，化簡得：m2﹣2k2﹣1=0，

代入拋物線C2：y2=4x，得到 y2﹣y+m=0，

△=0，化簡得：km﹣1=0，

解得：k= ，m= 或k=﹣ ，m=﹣ ，

∴直線的方程為y= + 或y=﹣ ﹣

【解析】（1）由e= = = ，求得a2=2b2 ， 將點（1， ）．代入 ，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）將直線方程代入橢圓方程由△=0，求得m2﹣2k2﹣1=0，代入拋物線方程，由△=0，求得km﹣1=0，即可求得k和m的值，求得直線方程．