Question

（1）當時，在上恒成立，求實數的取值范圍；

（2）當時，若函數在上恰有兩個不同零點，求實數的取值范圍；

（3）是否存在實數，使函數f（x）和函數在公共定義域上具有相同的單調區間？若存在，求出的值，若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由a=0,f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x，即 

記，則f（x）≥h（x）在（1,+∞）上恒成立等價于．求得 

當時;;當時， 

故在x=e處取得極小值，也是最小值，

即，故．

（2）函數k（x）=f（x）-h（x）在［1,3］上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有兩個相異實根。

令g（x）=x-2lnx,則 

當時，,當時，

g（x）在[1,2]上是單調遞減函數，在上是單調遞增函數。

故 

又g（1）=1,g（3）=3-2ln3

∵g（1）>g（3）,∴只需g（2）<a≤g（3）,

故a的取值范圍是（2-2ln2,3-2ln3]

（3）存在m=，使得函數f（x）和函數h（x）在公共定義域上具有相同的單調性

,函數f（x）的定義域為（0,+∞）。

若，則，函數f（x）在（0,+∞）上單調遞增，不合題意;

若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故時，函數的單調遞增區間為（,+∞）， 單調遞減區間為（0, ）

而h（x）在（0,+∞）上的單調遞減區間是（0,），單調遞增區間是（，+∞）

故只需=，解之得m=

即當m=時，函數f（x）和函數h（x）在其公共定義域上具有相同的單調性

【解析】略