Question

【題目】已知函數f（x）= 在點（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求實數a的值及f（x）的極值；
（Ⅱ）是否存在區間（t，t+ ）（t＞0），使函數f（x）在此區間上存在極值和零點？若存在，求實數t的取值范圍，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）如果對任意的 ，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k| |，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）由f（x）= ，得 ．
∵f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴ ，
∴a=1，
∴ ，x＞0，
．
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當x＞1時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減，
故f（x）在x=1處取得極大值1，無極小值；
（Ⅱ）∵x＞1時， ，
當x→0時，y→﹣∞，
由（I）得f（x）在（0，1）上單調遞增，
∴由零點存在原理，f（x）在區間（0，1）存在唯一零點，函數f（x）的圖象如圖所示：

∵函數f（x）在區間（t，t+ ），t＞0上存在極值和零點．
∴ ，解得 ．
∴存在符合條件的區間，實數t的取值范圍為（ ）；
（ III）由（I）的結論知，f（x）在[e2 ， +∞）上單調遞減，
不妨設 ，則|f（x1）﹣f（x2）|≥k| |，則 ．
∴ ．
∴函數F（x）=f（x）﹣ 在[e2 ， +∞）上單調遞減，
又 ，
∴ 在[e2 ， +∞）上恒成立，
∴k≤lnx在[e2 ， +∞）上恒成立．
在[e2 ， +∞）上 ，
k≤2．
【解析】（Ⅰ）由函數f（x）在（1，f（1））處的切線與x軸平行求得a的值，然后利用函數的導函數的符號求出函數的單調期間，則函數的極值可求；（Ⅱ）假設存在區間（t，t+ ）（t＞0），使函數f（x）在此區間上存在極值和零點，則得到 ，解此不等式組求得t的取值范圍；（Ⅲ）由（I）的結論知，f（x）在[e2 ， +∞）上單調遞減，然后構造函數F（x）=f（x）﹣ ，由函數在[e2 ， +∞）上單調遞減，則其導函數在在[e2 ， +∞）上恒成立，由此求得實數k的取值范圍．