【題目】已知
為坐標原點，拋物線
，點
，設直線
與
交于不同的兩點
、
.
（1）若直線
軸，求直線
的斜率的取值范圍；
（2）若直線不垂直于
軸，且
，證明：直線過定點.
【答案】（1）
； （2）見解析.
【解析】
（1）先設點P在第一象限時，設出點P的坐標，利用斜率坐標公式，將PA的斜率表示出來，之后對式子進行變形，利用基本不等式求得其范圍，從而得到直線PA的斜率的取值范圍，同理可得點P落在第四象限時，其斜率的取值范圍，之后取并集得到結果.
（2）設出直線的方程，將直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理求得兩根的關系，利用兩個角的關系，得到兩條直線的斜率是互為相反數的，從而得到
，代入直線方程，求得直線過的定點.
（1）當點
在第一象限時，設
，
，
∴
，同理，當點在第四象限時，∴
，綜上所述
∴
（2）設直線
的方程為
，聯立方程
，得
，
，
設
，
，
，
，
∵
∴
，，
∴
，∴直線恒過定點
發散思維新課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知三棱錐
的體積為1.在側棱
上取一點
，使
，然后在
上取一點
，使
，繼續在
上取一點
，使
，……按上述步驟，依次得到點
，記三棱錐
的體積依次構成數列
，數列
的前
項和
.
（1）求數列和的通項公式；
（2）記
，
為數列
的前項和，若不等式
對一切
恒成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝lnx
．
（1）若a＝4，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在區間（0，1]內單調遞增，求實數a的取值范圍；
（3）若x1、x2∈R+，且x1≤x2，求證：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量
(噸)與相應的生產能耗
(噸標準煤)的幾組對照數據
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|
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（1）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于
的線性回歸方程
；
（2）已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤.試根據1求出的線性回歸方程,預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤?
(附:
，
，
，
，其中
,
為樣本平均值)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業三月中旬生產
，
，
三種產品共3000件，根據分層隨機抽樣的結果，企業統計員制作了如下的統計表格：
產品類別 |
|
|
|
產品數量 | 1300 | ||
樣本中的數量 | 130 |
由于不小心，表格中，產品的有關數據已被污染得看不清楚，統計員只記得樣本中產品的數量比樣本中產品的數量多10.根據以上信息，求該企業生產產品的數量.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下圖是古希臘數學家阿基米德用平衡法求球的體積所用的圖形.此圖由正方形
、半徑為
的圓及等腰直角三角形構成，其中圓內切于正方形，等腰三角形的直角頂點與
的中點
重合，斜邊在直線
上.已知
為的中點，現將該圖形繞直線
旋轉一周，則陰影部分旋轉后形成的幾何體積為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，直線
， 
.
（1）求證：對
，直線
與圓
總有兩個不同的交點
；
（2）求弦
的中點
的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；
（3）是否存在實數
，使得原
上有四點到直線
的距離為
？若存在，求出
的范圍；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校寒假行政值班安排，要求每天安排一名行政人員值日，現從包含甲、乙兩人的七名行政人員中選四人負責四天的輪班值日，在下列條件下，各有多少種不同的安排方法？
（1）甲、乙兩人都被選中，且安排在前兩天值日；
（2）甲、乙兩人只有一人被選中，且不能安排在后兩天值日.
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