Question

【題目】若二次函數y=f（x）的圖象經過原點，且1≤f（﹣1）≤2，3≤f（1）≤4，求f（﹣2）的范圍．

Answer 1

【答案】解：因為y=f（x）的圖象經過原點，所以可設y=f（x）=ax2+bx．于是
∴ （I）
解法一（利用基本不等式的性質）
不等式組（Ⅰ）變形得
∴6≤4a﹣2b≤10，∴6≤f（﹣2）≤10，
所以f（﹣2）的取值范圍是[6，10]．
解法二（數形結合）
建立直角坐標系aob，作出不等式組（Ⅰ）所表示的區域，如圖中的陰影部分．

因為f（﹣2）=4a﹣2b，
所以4a﹣2b﹣f（﹣2）=0表示斜率為2的直線系．
如圖，當直線4a﹣2b﹣f（﹣2）=0過點A（2，1），B（3，1）時，
分別取得f（﹣2）的最小值6，最大值10．
即f（﹣2）的取值范圍是：6≤f（﹣2）≤10．
解法三（利用方程的思想）
∵ ，∴
又f（﹣2）=4a﹣2b=3f（﹣1）+f（1），而
1≤f（﹣1）≤2，3≤f（1）≤4，①
所以3≤3f（﹣1）≤6．②
①+②得4≤3f（﹣1）+f（1）≤10，即6≤f（﹣2）≤10．
【解析】法一，先根據要求設出二次函數，可以利用基本不等式性質變形找出f（2）解決；法二，用數形結合思想，利用線性規劃的方法求解；法三，利用方程思想反解a、b，利用f（﹣1）、f（1）來表示f（2）進而求解．