Question

如圖，某小區準備綠化一塊直徑為AB的半圓形空地，O為圓心，C為圓周上一點，CD⊥AB于D，△ACD內為一水池，△ACD外栽種花草，若AB=100米，∠CAB=θ，y=AC+CD．
（1）試用θ表示y；
（2）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）連接CB，則AC⊥CB，求出AC=ABcosθ=100cosθ．然后求出函數的解析式．
（2）求出函數的導數，通過導數為0，求出θ=30°．通過當0°＜θ＜30°時，當30°＜θ＜90°時，判斷函數的單調性，說明θ=30°時函數取得最大值，求解即可．

解答：解：（1）連接CB，則AC⊥CB，
又AB=100，∠CAB=θ，∴AC=ABcosθ=100cosθ．
又CD⊥AB，∴CD=ACsinθ=100sinθcosθ．
∴y=100（1+sinθ）cosθ，(0＜θ＜

π

2

)．
（2）y′=[100（1+sinθ）cosθ]′
=[100cosθ+50sin2θ]′
=100（-sinθ+cos2θ）．
由y′=0得sinθ=

1

2

或sinθ=-1（舍去）．
∴θ=30°．
當0°＜θ＜30°時，y′＞0，則y在（0，30°）遞增．
當30°＜θ＜90°時，y′＜0，則y在（30°，90°）遞減．
∴當θ=30°時函數取得最大值y_max=100（1+sin30°）cos30°=75

3

．

點評：本題考查三角函數的解析式的求法，函數的導數的應用，函數的最大值的求法，考查計算能力．