Question

P₁是橢圓+y²=1(a＞0且a≠1)上不與頂點重合的任一點,P₁P₂是垂直于x軸的弦,A₁(-a,0)、A₂(a,0)是橢圓的兩個頂點,直線A₁P₁與直線A₂P₂的交點為P.

(1)求點P的軌跡曲線C的方程;

(2)設曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B,求曲線C的離心率e的取值范圍;

(3)設曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B,O為坐標原點,且=-3,求a的值.

(文)設函數f(x)=x³+2ax²-3a²x+a(0＜a＜1).

(1)求函數f(x)的單調區間;

(2)若當x∈［a,2］時,恒有f(x)≤0,試確定實數a的取值范圍.

Answer 1

答案：

解：(1)設P₁(m,n)(mn≠0),則P₂(m,-n),直線A₁P₁:y=(x+a);①直線A₂P₂:y=(x-a);②

設P點坐標為(x,y),由①②,得m=,

∵點P₁(m,n)在橢圓+y²=1上,∴有m²+a²n²=a²,即()²+a²()²=a²,整理,得-y²=1(y≠0),∴直線A₁P₁與直線A₂P₂交點P的軌跡方程是雙曲線-y²=1(y≠0).

(2)由C與l相交于兩個不同的點,知方程組有兩個不同的實數解.消去y并整理,得(1-a²)x²+2a²x-2a²=0.又∵a＞0且a≠1,∴4a⁴+8a²(1-a²)＞0.∴0＜a²＜2且a²≠1.

雙曲線的離心率e=.

∴或e＞,即e∈()∪(,+∞).

(3)設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則-3==x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(1-x₁)(1-x₂)=2x₁x₂-(x₁+x₂)+1

=+1,即=-4,由a＞0,得a=.

(文)解：(1)∵f(x)=-x³+2ax²-3a²x+a(0＜a＜1),

∴f′(x)=-x²+4ax-3a²=-(x-a)(x-3a).

∵0＜a＜1,∴f′(x)＞0a＜x＜3a,f′(x)＜0x＜a或x＞3a.

∴函數f(x)的遞增區間為［a,3a］;遞減區間為(-∞,a］,［3a,+∞).

(2)∵x∈［a,2］,①當2≤3a,即≤a＜1時,f(x)在區間［a,2］內是增函數.

∴f(x)_max=f(2)=a-6a².又當x∈［a,2］時,恒有f(x)≤0,

∴

②當2＞3a即0＜a＜時,則f(x)在［a,3a］上單調遞增;在［3a,2］上單調遞減.

∴f(x)_max=f(3a)=a.又當x∈［a,2］時,恒有f(x)≤0,∴(無解).

綜上所述,a的取值范圍是≤a＜1.