Question

已知函數f(x)=,x＞0.

(1)判斷函數f(x)在區間(0,+∞)上的單調性,證明你的結論;

(2)若當x＞0時,f(x)＞恒成立,求正整數k的最大值.(參考數據:ln2≈0.7,ln3≈1.1)

(文) P₁是橢圓+y²=1(a＞0且a≠1)上不與頂點重合的任一點,P₁P₂是垂直于x軸的弦,A₁(-a,0),A₂(a,0)是橢圓的兩個端點,直線A₁P₁與直線A₂P₂交點為P.

(1)求P點的軌跡曲線C的方程;

(2)設曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B,求曲線C的離心率e的取值范圍;

(3)設曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B,O為坐標原點,且=-3,求a的值.

Answer 1

(理)解：(1)f′(x)=［-1-ln(x+1)］=［+ln(x+1)］,

∵x＞0,∴x²＞0,＞0,ln(x+1)＞0.

∴f′(x)＜0.

因此函數f(x)在區間(0,+∞)上是減函數.                                       

(2)(方法1)當x＞0時,f(x)＞恒成立,令x=1有k＜2(1+ln2).又k為正整數,

∴k的最大值不大于3.                                                     

下面證明當k=3時,f(x)＞(x＞0)恒成立,

即證當x＞0時,(x+1)ln(x+1)+1-2x＞0恒成立.                                  

令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x,則g′(x)=ln(x+1)-1,

當x＞e-1時,g′(x)＞0;當0＜x＜e-1時,g′(x)＜0.                                 

∴當x=e-1時,g(x)取得最小值g(e-1)=3-e＞0.

∴當x＞0時,(x+1)ln(x+1)+1-2x＞0恒成立.

因此正整數k的最大值為3.                                                 

(方法2)當x＞0,f(x)＞恒成立.

h(x)=＞k對x＞0恒成立.h(x)(x＞0)的最小值大于k.           

h′(x)=,記φ(x)=x-1-ln(x+1)(x＞0),

則φ′(x)=＞0,

∴φ(x)在(0,+∞)上連續遞增.

又φ(2)=1-ln3＜0,φ(3)=2-2ln2＞0,

∴φ(x)=0存在唯一實根a,且滿足:a∈(2,3),即a-1-ln(a+1)=0.∴a=1+ln(a+1).          

由x＞a時,φ(x)＞0,h′(x)＞0;0＜x＜a時,φ(x)＜0,h′(x)＜0知:

h(x)(x＞0)的最小值為h(a)==a+1.               

又2＜a＜3,∴3＜a+1＜4,為使k＜h(x)對于x＞0恒成立,

因此正整數k的最大值為3.                                                 

(文)(1)解:設P₁(m,n)(mn≠0),則P₂(m,-n),

直線A₁P₁:y=(x+a);①

直線A₂P₂:y=(x-a);②                                                  

設P點坐標為(x,y),

由①②得m=,n=,                                                    

∵點P₁(m,n)在橢圓+y²=1上,

∴有m²+a²n²=a²,

即()²+a²()²=a²,整理得-y²=1(y≠0).

∴直線A₁P₁與直線A₂P₂交點P的軌跡方程是雙曲線-y²=1(y≠0).              

(2)由C與l相交于兩個不同的點,故知方程組有兩個不同的實數解.消去y并整理得(1-a²)x²+2a²x-2a²=0.

又∵a＞0且a≠1,

∴4a⁴+8a²(1-a²)＞0.

∴0＜a²＜2且a²≠1.                                                            

雙曲線的離心率e=.

∴＜e＜或e＞,即e∈()∪(,+∞).                        

(3)設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

則-3==x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(1-x₁)(1-x₂)=2x₁x₂-(x₁+x₂)+1=+1,

即=-4,由a＞0,得a=.