Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n與通項a_n滿足S_n=-a_n.
(1)求數列{a_n}的通項公式;
(2)設f(x)=log₃x,b_n=f(a₁)+f(a₂)+…+f(a_n),T_n=++…+,求T₂₀₁₂;
(3)若c_n=a_n·f(a_n),求{c_n}的前n項和U_n.

Answer 1

(1) a_n=ⁿ    (2)     (3) U_n=-+·ⁿ+n·ⁿ⁺¹

解:(1)當n=1時,a₁=,
當n≥2時,a_n=S_n-S_n-1=-a_n-+a_n-1,
所以a_n=a_n-1,
即數列{a_n}是首項為,公比為的等比數列,
故a_n=ⁿ.
(2)由已知可得f(a_n)=log₃ⁿ=-n.
則b_n=-1-2-3-…-n=-,
故=-2(-),
又T_n=-2[(1-)+(-)+…+(-)]
=-2(1-),
所以T₂₀₁₂=-.
(3)由題意得c_n=-n·ⁿ,
故U_n=c₁+c₂+…+c_n
=-[1×¹+2ײ+…+n×ⁿ],
則U_n=-[1ײ+2׳+…+n×ⁿ⁺¹],
兩式相減可得
U_n=-[¹+²+…+ⁿ-n·ⁿ⁺¹]
=-[1-ⁿ]+n·ⁿ⁺¹
=-+·ⁿ+n·ⁿ⁺¹,
則U_n=-+·ⁿ+n·ⁿ⁺¹.